【如何理解动态规划】动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种用于解决复杂问题的算法设计方法，尤其在具有重叠子问题和最优子结构的问题中表现出色。它通过将大问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解，以避免重复计算，从而提高效率。
一、动态规划的核心思想
动态规划的核心在于“分而治之”与“记忆化”。其基本步骤如下：
1. 识别最优子结构：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
2. 定义状态转移方程：找出当前状态与之前状态之间的关系。
3. 初始化边界条件：确定最简单情况下的解。
4. 填充表格或数组：按照状态转移方程逐步求解。
二、动态规划的常见应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 最长公共子序列（LCS） | 找出两个字符串中最长的公共子序列 |
| 背包问题 | 在有限容量下选择物品使总价值最大 |
| 斐波那契数列 | 递推式计算第n项的值 |
| 矩阵链乘法 | 计算矩阵相乘的最优顺序 |
| 最短路径问题 | 如Dijkstra算法中的部分优化 |
| 编辑距离 | 计算两个字符串之间转换所需的最少操作数 |
三、动态规划与递归的区别
| 特征 | 动态规划 | 递归 |
| 是否保存中间结果 | 是 | 否 |
| 时间复杂度 | 通常较低 | 可能较高（如指数级） |
| 是否适合重复子问题 | 适合 | 不适合 |
| 实现方式 | 表格/数组 + 迭代 | 函数调用栈 |
| 适用问题类型 | 有重叠子问题 | 无重叠子问题 |
四、动态规划的实现方式
动态规划可以采用两种主要方式实现：
| 方式 | 描述 |
| 自顶向下（带记忆化） | 使用递归+缓存，先分解问题再求解 |
| 自底向上 | 通过迭代方式从基础情况开始逐步构建解 |
五、总结
动态规划是一种高效解决问题的方法，适用于那些可以通过分解为子问题并利用已有解来构造最终答案的情况。掌握动态规划的关键在于识别问题是否具备最优子结构和重叠子问题，并正确建立状态转移方程。虽然学习曲线较陡，但一旦掌握，便能解决许多经典算法问题。
关键词：动态规划、最优子结构、重叠子问题、状态转移、记忆化、递归、自底向上、自顶向下